Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），若点P为抛物线上一点，连AP交y轴于Q，且AP•AQ=4，求点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设直线AP的解析式为y=k（x+1）（k≠0），求出点Q的坐标，与抛物线解析式联立求出点P的坐标，然后利用勾股定理列式表示出AQ、AP，再相乘解方程求出k值，然后解答即可．

解答：解：设直线AP的解析式为y=k（x+1）（k≠0），
则点Q的坐标为（0，k），
联立

y=k(x+1) y=x2-2x-3

，
解得

x1=-1 y1=0

，

x2=k+3 y2=k(k+4)

，
所以，点P的坐标为（k+3，k（k+4）），
由勾股定理得，AQ=

1+k2

，AP=

(k+3+1)2+[k(k+4)]2

=（k+4）

1+k2

，
∵AP•AQ=4，
∴（k+4）

1+k2

•

1+k2

=4，
∴（k+4）（1+k²）=4，
整理得，k（k²+4k+1）=0，
解得k₁=0（舍去），k₂=-2-

3

（舍去），k₃=-2+

3

，
∴k+3=-2+

3

+3=1+

3

，
k（k+4）=（-2+

3

）（-2+

3

+4）=-1，
∴点P的坐标为（1+

3

，-1）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，主要利用了联立两函数解析式求交点问题，勾股定理，设出直线解析式并列出关于k的方程是解题的关键．