Question

13．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，点E在AC上，M为BE的中点
（1）求证：AE=2DM；
（2）将图1中的△CDE旋转至图2的位置，试探究AE与DM之间的等量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长ED交BC于N，根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，DE=CD，推出△ECN是等腰直角三角形，得到CE=CN，求得AE=BN，根据三角形的中位线的性质到DM=$\frac{1}{2}$BN，等量代换得到结论；
（2）如图2，延长ED到N使DN=DE，推出△CEN是等腰直角三角形，得到∠ACE=∠BCN，通过△ACE≌△BCN，得到AE=BN，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长ED交BC于N，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DE=CD，
∵∠ACB=90°，∠ECD=45°，
∴∠CDN=90°，∠DCN=45°，
∴△ECN是等腰直角三角形，
∴CE=CN，
∴AC-CE=BC-CN，
即AE=BN，
∵EM=BM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴AE=2DM；

（2）AE=2DM，如图2，延长ED到N使DN=DE，
∵∠CDN=90°，
∴CD⊥EN，
∴CN=CE，
∴△CEN是等腰直角三角形，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCN，
在△ACE与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCN}\\{CE=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCN，
∴AE=BN，
∵BM=EM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴AE=2DM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．