Question

3．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象就可以得出A、B两地的距离；
（2）根据函数图象反应的时间可以求出甲乙的速度，就可以求出相遇时间，就可以求出乙离B地的距离而得出相遇点M的坐标；
（3）由待定系数法求出直线OB、BC和AC的解析式，然后建立不等式组或不等式就可以求出结论．

解答 解：（1）由函数图象，得
A、B两地的距离为20千米．
答：A、B两地的距离为20千米；

（2）由函数图象，得
甲的速度为：20÷2=10千米/时，
乙的速度为：20÷1=20千米/时．
∴甲乙相遇的时间为：20÷（10+20）=$\frac{2}{3}$小时．
相遇时乙离开B地的距离为：$\frac{2}{3}$×20=$\frac{40}{3}$千米，
所以，点M的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{40}{3}$），表示$\frac{2}{3}$小时后两车相遇，此时距离B地$\frac{40}{3}$千米；

（3）设OB的解析式为y₁=k₁x，BC的解析式为y₂=k₂x+b₂，AC的解析式为y₃=k₃x+b₃，由题意，得
20=k₁，$\left\{\begin{array}{l}{20={k}_{2}+{b}_{2}}\\{0=2{k}_{2}+{b}_{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{20={b}_{3}}\\{0=2{k}_{3}+{b}_{3}}\end{array}\right.$，
解得：k₁=20，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-20}\\{{b}_{2}=40}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{3}=-10}\\{{b}_{3}=20}\end{array}\right.$，
∴OB的解析式为y₁=20x，BC的解析式为y₂=-20x+40，AC的解析式为y₃=-10x+20．
当y₃-y₁≤3或y₁-y₃≤3时，$\left\{\begin{array}{l}{-10x+20-20x≤3}\\{20x-（-10x+20）≤3}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{17}{30}$≤x$\frac{23}{30}$．
当y₂-y₃≤3时，$\left\{\begin{array}{l}{-20x+40+10x-20≤3}\\{x≤3}\end{array}\right.$
解得：1.7≤x≤3，
∴当$\frac{17}{30}$≤x$\frac{23}{30}$或1.7≤x≤3时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．

点评 本题考查了一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式式组的运用，解答时认真分析函数图象，弄清函数图象的意义是关键．