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    13．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．“蛋圆”被平行于y轴的直线截得的最大弦长6．
    （1）写出“蛋圆”抛物线部分的解析式及自变量的取值范围；
    （2）①“蛋圆”被y轴的直线截得的弦CD的长为$\sqrt{3}$+3；
    ②过点C的“蛋圆”切线交x轴于G，求G点的坐标；
    （3）P点在线段OB上运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交BD于点F，连结DE和BE后，是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？若存在，请求出点E的坐标和△BDE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）过点M作GH∥y轴，交“蛋圆”于N、H，如图，则GH=6，由于NM=2，M（1，0），易得H（1，-4），再利用半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2可确定A（-1，0），B（3，0），于是可利用交点时求出
    “蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x2-2x-3（-1≤x≤3）；
    （2）①连结CM，如图，在Rt△OCM中利用勾股定理计算出OC=$\sqrt{3}$，根据y轴上点的坐标特征确定D（0，-3），则OD=3，所以CD=$\sqrt{3}$+3；
    ②由于GC切“蛋圆”的半圆于C，根据切线的性质得∠MCG=90°，根据含30度直角三角形三边关系，有OM=1，MC=2得到∠MCO=30°，则利用等角的余角相等得∠CGM=30°，所以MG=2MC=4，易得G（-3，0）；
    （3）先利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x-3，设E（x，x2-2x-3），则F（x，x-3），所以EF=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BDE=S△DEF+S△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x2+3x）=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{9}{2}$x，然后根据二次函数的性质解决问题．

    解答 解：（1）过点M作GH∥y轴，交“蛋圆”于N、H，如图，则GH=6，
    ∵NM=2，
    ∴MH=4，
    而M（1，0），
    ∴H（1，-4），
    ∵半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2，
    ∴A（-1，0），B（3，0），
    设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=a（x+1）（x-3），
    把H（1，-4）代入得a•2•（-2）=-4，解得a=1，
    ∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=（x+1）（x-3），
    即y=x2-2x-3（-1≤x≤3）；
    （2）①连结CM，如图，
    在Rt△OCM中，∵OM=1，MC=2，
    ∴OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
    当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则D（0，-3），
    ∴OD=3，
    ∴CD=OC+OD=$\sqrt{3}$+3；
    故答案为$\sqrt{3}$+3；
    ②∵GC切“蛋圆”的半圆于C，
    ∴MC⊥CG，
    ∴∠MCG=90°，
    ∵OM=1，MC=2，
    ∴∠MCO=30°，
    ∴∠CGM=30°，
    ∴MG=2MC=4，
    ∴OG=GM-OM=4-1=3，
    ∴G（-3，0）；
    （3）存在．
    设直线BD的解析式为y=kx+b，
    把B（3，0），D（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
    ∴直线BD的解析式为y=x-3，
    设E（x，x2-2x-3），
    ∵PE⊥x轴，
    ∴F（x，x-3），
    ∴EF=x-3-（x2-2x-3）=-x2+3x，
    ∵S△BDE=S△DEF+S△BEF=$\frac{1}{2}$•EF•OP+$\frac{1}{2}$EF•BP=$\frac{1}{2}$•EF•OB=$\frac{1}{2}$•3•（-x2+3x）=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{8}$，
    ∴当x=$\frac{3}{2}$时，S△BDE有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，
    此时E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

    点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象与一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和切线的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；接着含30度的直角三角形三边的关系．

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    （2）$\frac{{a}^{2}}{a-1}-a-1$．

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    （1）（-1$\frac{1}{2}$）+（+$\frac{5}{6}$）-（-3$\frac{1}{12}$）；
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    （3）1-$\frac{1}{13}$×[4-（-3）3÷（-$\frac{3}{4}$）2]
    （4）-24×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$）+（-2）3÷（1-0.8×$\frac{5}{8}$）

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    2．（1）$（{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}）（{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}）$；       
    （2）$（{2\sqrt{48}-3\sqrt{27}}）÷\sqrt{6}$．
    （3）（$\sqrt{24}$-$\sqrt{0.5}$+2$\sqrt{\frac{2}{3}}$）-（$\sqrt{\frac{1}{8}}$-$\sqrt{6}$）．

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    （1）写出A、B两地之间的距离；
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    （3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

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