Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中的点P（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点P的“湘一比”，记为kp，如点P（﹣3，6），则kp==﹣2．

（1）若P（a，2）在直线y=x﹣2上，求点P的“湘一比”kp及直线OP与x轴夹角的正切值；

（2）已知点Q（m，n）的“湘一比”kQ为，且Q在y=（x＞0）上，⊙Q的半径为1，若点M在⊙Q上，求M的“湘一比”kM的取值范围；

（3）设m、n为正整数，且m≠2，对一切实数t，如果直线y=mtx+3mt与二次函数y=x2+3x交于A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|≥|2t+n|，求点N（m，n）的“湘一比”kN的值．

Answer 1

【答案】（1）kp=，直线OP与x轴夹角的正切值是；（2）0≤kM≤；（3）kN=或．

【解析】

（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出a的值，再根据 “湘一比”的定义求出kp，然后作出图形，利用正切的定义求直线OP与x轴夹角的正切值；

（2）先确定出点Q的坐标，进而判断出直线OM和⊙Q相切时是分界点，分别求出相切时kM的最大值和最小值，即可得出结论；

（3）联立解析式，求出x1＝3，x2＝mt，进而建立不等式组，得出m＞2且（mn6）2≤0，进而确定出m，n的值，即可得出结论．

解：（1）∵P（a，2）在直线y=x﹣2上，

∴2=a﹣2，

∴a=4，

∴kp==，

如图，过点P作PF⊥x轴于F，

∵P（4，2），

∴PF=2，OF=4，

∴此时直线OP与x轴夹角的正切值为：；

（2）由题意知，kQ==，

∴n=m，

∴Q（m，m），

∵Q在y=（x＞0）上，

∴，

∴或m=﹣（舍去），

∴，

根据点M的“湘一比”知，直线OM和⊙Q相切时，一个是kM的最大值，一个是kM的最小值，

∵，⊙Q的半径为1，

∴⊙Q与x轴相切，

如图，切点为M1（，0），故此时kM最小，即kM=0；

而直线OM2是⊙Q的另一条切线，此时kM最大，

∵，

∴，

∵OM1，OM2分别为⊙Q的两条切线，

∴OM1=OM2=，，

∴，

过点M2作M2E⊥x轴于点E，则OE＝，，

∴当点M2坐标为（，）时，kM最大，此时kM=，

∴0≤kM≤；

（3）联立，

∴x2+（3﹣mt）x﹣3mt=0，即（x+3）（x-mt）=0，

∴x1=﹣3，x2=mt，

∵|x1﹣x2|≥|2t+n|，

∴（﹣3﹣mt）2≥（2t+n）2，整理得：，

由题意知，对于一切实数t不等式恒成立，∴，

∵m为正整数，

∴m＞2且（mn﹣6）2≤0，

∵（mn﹣6）2≥0，

∴mn=6，

∵m，n为正整数，

∴m=3，n=2或m=6，n=1，

∴kN=或．