Question

阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b

2

=（m+n

2

）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b

2

=m²+2n²+2mn

2

．
∴a=m²+2n²，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b

2

的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b

3

=（m+n

3

）²，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a-6

5

=（m-n

5

）²且a、m、n均为正整数，求a的值．

Answer 1

考点：二次根式的混合运算

专题：

分析：（1）根据上面的例子，将（m+n

3

）²，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将（m-n

5

）²展开得出m²-2

5

mn+5n²，由题意得mn=3，m²+5n²=a，再由a、m、n均为正整数，可得出m=3，n=1，a=14．

解答：解：（1）∵a+b

3

=（m+n

3

）²，
∴a+b

3

=m²+3n²+2

3

mn，
∴a=m²+3n²，b=2

3

mn；
（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；
（3）∵a-6

5

=（m-n

5

）²，
∴a-6

5

=m²-2

5

mn+5n²，
∴mn=3，m²+5n²=a，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=3，n=1，a=14；
故答案为m²+3n²，2

3

mn，13，4，1，2．

点评：本题考查了二次根式的混合运算，注意分析所给的材料，再进行解答．