Question

15．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D 是BC的中点，点E、F分别是AB，AC上的点，并且BE=AF
（1）猜想并写出AD与BC所满足的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）请判断△EDF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形性质和等腰三角形性质求出∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC；
（2）证△EBD≌△FAD，推出DE=DF，∠BED=∠ADF，求出∠EDF=∠ADB=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D 是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC；
（2）∵∠A=90°，AB=AC，D 是BC的中点，
∴∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，
在△EBD和△FAD中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠FAD}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△FAD，
∴DE=DF，∠BED=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90°，
即△EDF是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．