Question

【题目】已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明

Answer 1

【答案】EF=2AD，EF⊥AD；证明见解析

【解析】

先猜想EF=2AD，EF⊥AD．延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题.

猜想：EF=2AD，EF⊥AD．

证明：如图，延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，

∴AD=DM，AM=2AD，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，

在△ABD和△MCD中，

， ∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴AB=MC，∠BAD=∠M，

∵AB=AE，∴AE=MC，

∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，

∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，

∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，

即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．

在△AEF和△CMA中，

，∴△AEF≌△CMA（SAS），

∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；

∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，

∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，

∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．