【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AB.求证:∠B=30°.
请填空完成下列证明.
证明:如图,作Rt△ABC的斜边上的中线CD,
则 CD=AB=AD ( ).
∵AC=AB,
∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形.
∴∠A= °.
∴∠B=90°﹣∠A=30°.
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【题目】如图,已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点,连接BD,CD.请你添加一个适当的条件,使△ABD≌△ACD.添加的条件是:____.(写出一个即可)
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F是对角线AC上的两个动点,分别从A、C同时出发,相向而行,速度均为2cm/s,运动时间为t(0≤t≤5)秒.
(1)若G、H分别是AB、DC的中点,且t≠2.5s,求证:以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形;
(2)在(1)的条件下,当t为何值时?以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形;
(3)若G、H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点,分别从A、C开始,与E.F相同的速度同时出发,当t为何值时,以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形,请直接写出t的值.
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【题目】某商场购进一种单价为40元的足球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个,根据销售经验,销售单价每提高1元,销售量相应减少10个.
(1)设销售单价提高x元(x为正整数),写出每月销售量y(个)与x(元)之间的函数关系式;
(2)假设这种篮足球每月的销售利润为w元,试写出w与x之间的函数关系式,并通过配方讨论,当销售单价定为多少元时,每月销售这种足球的利润最大,最大利润为多少元?
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线
与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0)。
(1)求点B的坐标;
(2)已知,C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。
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【题目】“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种,在我省被广泛种植.清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩,到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩.
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率;
(2)市场调查发现,当“早黑宝”售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降低1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,基地决定降价促销,已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1800元,则售价应降低多少元?
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【题目】综合与实践
问题情境:正方形折叠中的数学
已知正方形纸片ABCD中,AB=4,点E是AB边上的一点,点G是CE的中点,将正方形纸片沿CE所在直线折叠,点B的对应点为点B′.
(1)如图1,当∠BCE=30°时,连接BG,B′G,求证:四边形BEB′G是菱形;
深入探究:
(2)在CD边上取点F,使DF=BE,点H是AF的中点,再将正方形纸片ABCD沿AF所在直线折叠,点D的对应点为D′,顺次连接B′,G,D′,H,B',得到四边形B′GD′H.
请你从A,B两题中任选一题作答,我选择 题.
A题:如图2,当点B',D′均落在对角线AC上时,
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系,并说明理由;
②直写出此时点H,G之间的距离.
B题:如图3,点M是AB的中点,MN∥BC交CD于点N,当点B',D′均落在MN上时,
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系,并说明理由;
②直接写出此时点H,G之间的距离.
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【题目】联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念.
定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:如图1,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:如图2,BF为等边三角形的角平分线,准内心P在BF上,且PF=BP,求证:点P是△ABC的内心.
探究:已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,准内心P在AC上,若PC=AP,求∠A的度数.
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