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【题目】已知在△ABC中,ABAC,∠BACα,直线l经过点A(不经过点B或点C),点C关于直线l的对称点为点D,连接BDCD.

(1)如图1

①求证:点BCD在以点A为圆心,AB为半径的圆上.

②直接写出∠BDC的度数(用含α的式子表示)______.

(2)如图2,当α60°时,过点DBD的垂线与直线l交于点E,求证:AEBD.

(3)如图3,当α90°时,记直线lCD的交点为F,连接BF.将直线l绕点A旋转,当线段BF的长取得最大值时,直接写出tanFBC的值.

【答案】(1)①证明见解析;②(2)证明见解析;(3)tanFBC.

【解析】

1由线段垂直平分线的性质可得ADACAB,即可证点BCD在以点A为圆心,AB为半径的圆上;

由圆周角定理可得∠BAC2∠BDC,可求∠BDC的度数;

2)连接CE,由题意可证△ABC△DCE是等边三角形,可得ACBC∠DCE60°∠ACBCDCE,根据“SAS”可证△BCD≌△ACE,可得AEBD

3)取AC的中点O,连接OBOFBF,由三角形的三边关系可得,当点O,点B,点F三点共线时,BF最长,根据等腰三角形的性质和勾股定理可求,OHHCBH3HC,即可求tan∠FBC的值.

证明:(1如图1,连接DA

C关于直线l的对称点为点D

∴ADAC,且ABAC

∴ADABAC

BCD在以点A为圆心,AB为半径的圆上;

②∵BCD在以点A为圆心,AB为半径的圆上,

∴∠BDC

2)如图2,连接CE

∵∠BAC60°ABAC

∴△ABC是等边三角形,

∴BCAC∠ACB60°

∵∠BDC

∴∠BDC30°

∵BD⊥DE

∴∠CDE60°

C关于直线l的对称点为点D

∴DECE,且∠CDE60°

∴△CDE是等边三角形,

∴CDCEDE∠DCE60°∠ACB

∴∠BCD∠ACE,且ACBCCDCE

∴△BCD≌△ACE(SAS)

∴BDAE

3)如图3,取AC的中点O,连接OBOFBF

△BOF中,BO+OF≥BC

当点O,点B,点F三点共线时,BF最长,

如图,过点OOH⊥BC

∵∠BAC90°ABAC

∴BCAC∠ACB45°

∴∠COH∠HCO45°

∴OHHC

∴OCHC

OAC中点,

∴AC2HC

∴BC4HC

∴BHBCHC3HC

∴tan∠FBC.

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