Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，D点从BC的中点到C点运动，点E在AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径R的取值范围为（　　）

• A、

  6

  7

  ≤R≤

  12

  7

• B、

  6

  7

  ≤R≤

  4

  3

• C、

  5

  6

  ≤R≤2
• D、1≤R≤

  3

  2

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：当点E在AD上，AD为△ABC的中线，如图1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，根据切线的性质得EH=EF=R，在Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4，在Rt△ADC中，根据勾股定理计算出AD=

13

，然后证明△DEH∽△DAC，利用相似比得到DE=

13

3

R，DH=

2

3

R，则AE=AD-DE=

13

-

13

3

R，BH=BD+DH=2+

2

3

R，则根据切线长定理得BF=BH=2+

2

3

R，所以AF=AB-BF=3-

2

3

R，再在Rt△AEF中根据勾股定理得到R²+（3-

2

3

R）²=（

13

-

13

3

R）²，解得R=

6

7

；
当点D运动到点C的位置，如图2，作EF⊥AB于F，利用切线的性质得EC=EF=R，则AE=AC-EC=3-R，再证明Rt△AFE∽Rt△ACB，利用相似比可计算出R=

4

3

，
由于D为BC的中点时，⊙E的半径最小，D点与C点重合时，⊙E的半径最大，所以则⊙E的半径R的取值范围为

6

7

≤R≤

4

3

．

解答：解：当点E在AD上，AD为△ABC的中线，如图1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EH=EF=R，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=4，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=2，
在Rt△ADC中，AD=

AC2+CD2

=

13

，
∵EH∥AC，
∴△DEH∽△DAC，
∴

DE

DA

=

EH

AC

=

DH

DC

，即

DE

13

=

R

3

=

DH

2

，
∴DE=

13

3

R，DH=

2

3

R，
∴AE=AD-DE=

13

-

13

3

R，BH=BD+DH=2+

2

3

R，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴BF=BH=2+

2

3

R
∴AF=AB-BF=3-

2

3

R，
在Rt△AEF中，∵EF²+AF²=AE²，
∴R²+（3-

2

3

R）²=（

13

-

13

3

R）²，解得R=

6

7

；
当点D运动到点C的位置，如图2，作EF⊥AB于F，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EC=EF=R，
∴AE=AC-EC=3-R，
∵∠FAE=∠CAB，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴

EF

BC

=

AE

AB

，即

R

4

=

3-R

5

，解得R=

4

3

，
∴当D点从BC的中点到C点运动，点E在AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径R的取值范围为

6

7

≤R≤

4

3

．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．