Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值为$\frac{12}{5}$、$\frac{24}{7}$、$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况讨论，当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ，当∠QPB=90°时，BQ=2BP，再分别列出方程求解即可．

解答 解：①如图（1），当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ，
∵BP=12-3t，BQ=t，
∴12-3t=2t，
解得：t=$\frac{12}{5}$；
②如图（2）当∠QPB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
若0＜t＜4，
则t=2（12-3t）．
t=$\frac{24}{7}$，
若4＜t≤6时，
则t=2（3t-12），
t=$\frac{24}{5}$；
故答案为$\frac{12}{5}$、$\frac{24}{7}$、$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．