Question

3．如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA=OB．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）两直线与x轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）设正比例函数是y=mx，设一次函数是y=kx+b．根据它们交于点A（4，3），得到关于m的方程和关于k、b的方程，从而首先求得m的值；根据勾股定理求得OA的长，从而得到OB的长，即可求得b的值，再进一步求得k值．
（2）求出点D的坐标，即可得出结果．

解答 解：（1）设正比例函数是y=mx，设一次函数是y=kx+b．
把A（4，3）代入y=mx得：4m=3，即m=$\frac{3}{4}$．
则正比例函数是y=$\frac{3}{4}$x；
把（4，3）代入y=kx+b，
得：4k+b=3①．
∵A（4，3），
∴根据勾股定理得OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{1}}$=5，
∴OB=OA=5，
∴b=-5．
把b=-5代入①，得k=2．
则一次函数解析式是y=2x-5．
（2）设直线AB交x轴于D，如图所示：
对于y=2x-5，当y=0时，x=2.5，
则D（2.5，0），
两直线与x轴围成△AOD的面积=$\frac{1}{2}$×2.5×3=3.75．

点评 本题主要考查了用待定系数法求函数解析式和一次函数图象的性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．