Question

19．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，AE平分∠FAB吗？为什么？

Answer 1

分析 AE平分∠FAB，连接BE，先证明∠AEB=∠AFE=90°，然后利用同角的余角相等可知∠FEA=∠BEO，由∠OEB=∠OBE，可得到∠FEA=∠EBO，即AE平分∠FAB．

解答 解：AE平分∠FAB，理由如下：
连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠AFE．
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEO=90°，
∵∠BEO+∠OEA=90°，∠OEA+∠AEF=90°，
∴∠FEA=∠BEO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠FEA=∠EBO，
∴△AFE∽AEB，
∴∠FAE=∠EAB，
∴AE平分∠FAB的平分线．

点评 本题考查了圆的切线性质，解题的关键是通过作连接圆心和切点的辅助线，构造直角三角形．