Question

用1～8共八个数字，组成两个四位数，它们的最小公倍数的最小可能值记为a，它们的最大公约数的最大可能值记为b，求乘积ab的值．

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：

分析：1-8这八个数字组成两个四位数，显然两个四位数不相等，设其中较大数为M，较小数为N．易知：N的千位最大是4，最小是1．
（1）要使最小公倍数a最小，那这两个四位数应该是两倍关系：分析得到N=1728、M=3456，根据最小公倍数的求法得到a的值；
（2）要使最大公约数最大，这两个四位数也应该是两倍关系：分析得到M=8352、N=4176，根据最大公约数的求法得到b的值；
两者相乘即可求解．

解答：解：1-8这八个数字组成两个四位数，显然两个四位数不相等，设其中较大数为M，较小数为N．易知：N的千位最大是4，最小是1．
（1）要使最小公倍数a最小，那这两个四位数应该是两倍关系：若N的前两位是12，则M的前两位必是24或25，2出现重复，不符合题意；若N的前两位是13，当M的前两位是26时，剩下的数字4、5、7、8不可能组成两个两位数，且二者是两倍关系；当M的前两位是27时，剩下的数字4、5、6、8也不可能组成两个两位数，其中一个两位数的两倍等于另一个两位数的两倍再加上100，故N的前两位不可能是13．若N的前两位是14，则M的前两位必是28，此时剩下的数字3、5、6、7不可能组成两个两位数，且二者是两倍关系，即N的前两位也不可能是14若N的前两位是15，则M的前两位无论是30或31均不符合题意；若N的前两位是16，则M的前两位无论是32或33均不符合题意；若N的前两位是17，当M的前两位是34时，剩下的数字2、5、6、8可组成28×2=56或25，符合题意，此时N=1728、M=3456，a=M=3456；
（2）要使最大公约数最大，这两个四位数也应该是两倍关系：当N的千位是4时，M的千位是8，问题转化成剩下的1、2、3、5、6、7组成两个三位数，且其中一个三位数是另一个三位数的两倍．此时只有176×2=352成立，故M=8352、N=4176．所以b=4176；
综上所述，ab=3456×4176=14432256．
答：乘积ab的值是14432256．

点评：考查了约数与倍数，本题关键是理解要使最小公倍数a最小，两个四位数应该是两倍关系；要使最大公约数最大，两个四位数也应该是两倍关系．