Question

6．△PQR为等边三角形，∠ARB=120°
①求证：△APR∽△RQB∽△ARB；
②求证：PQ²=AP•BQ；
③能否在AB上找到一点C，使$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，若能，求出有关条件，若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PQR是等边三角形，推出∠RPQ=∠RQP=60°，推出∠APR=∠BQR=120°，由∠ARB=120°，推出∠APR=∠BQR=∠ARB，由此即可证明．
（2））由△PQR是等边三角形，推出PQ=PR=RQ，由△APR∽△RQB，推出$\frac{AP}{RQ}$=$\frac{PR}{BQ}$，即$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{PQ}{BQ}$，即PQ²=AP•BQ；
（3）如图，作∠ARB的平分线交AB于C，此时$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，首先证明△REC是等边三角形，推出ER=EC=RC，由EC∥RB，推出$\frac{EC}{RB}$=$\frac{AC}{AB}$，$\frac{ER}{AR}$=$\frac{BC}{AB}$，推出$\frac{ER}{AR}$+$\frac{EC}{RB}$=$\frac{RC}{AR}$+$\frac{RC}{RB}$=$\frac{BC}{AB}$+$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，推出$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$．

解答 （1）证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠RPQ=∠RQP=60°，
∴∠APR=∠BQR=120°，
∵∠ARB=120°，
∴∠APR=∠BQR=∠ARB，
∵∠A=∠A，
∴∠APR∽△ARB，
∵∠B=∠B，
∴△BQR∽△BRA，
∴△APR∽△RQB∽△ARB；

（2）解：∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR=RQ，
∵△APR∽△RQB，
∴$\frac{AP}{RQ}$=$\frac{PR}{BQ}$，
∴$\frac{AP}{PQ}$=$\frac{PQ}{BQ}$，
∴PQ²=AP•BQ；

（3）如图，作∠ARB的平分线交AB于C，此时$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，理由如下，
作CE∥BR交AR于E．
∴∠AEC=∠ARB=120°，
∴∠REC=60°，
∵∠ERC=60°，
∴△REC是等边三角形，
∴ER=EC=RC，
∵EC∥RB，
∴$\frac{EC}{RB}$=$\frac{AC}{AB}$，$\frac{ER}{AR}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{ER}{AR}$+$\frac{EC}{RB}$=$\frac{RC}{AR}$+$\frac{RC}{RB}$=$\frac{BC}{AB}$+$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，
∴$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$，
∴当RC平分∠ARB时，$\frac{1}{AR}$+$\frac{1}{RB}$=$\frac{1}{CR}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加辅助线构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．