Question

如图，已知二次函数的图象经过点A、B和点C．连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

（1）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）设S₀是②中函数S的最大值，求出S₀的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图象经过点A、B和点C，

∴令y=0，得x=或x=6；令x=0，得y=8。

∴A（6，0），C（0，8）。

分三种情况讨论如下，

情况1：当0≤t≤1时，如图1，

S=OP•OQ=×3t×8t=12t²。

情况2：当1＜t≤2时，如图2，

作QE⊥OA，垂足为E，

S=OP•EQ=×3t×。

。

（2）根据（1）的函数即可得出S的最大值：

当0≤t≤1时，S=12t²，函数的最大值是12；

当1＜t≤2时，S，函数的最大值是；

当2＜t＜，S=QP•OF，函数的最大值不超过。

∴。

【考点】二次函数综合题，单双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，分类思想、数形结合思想的应用。