Question

【题目】如图，等边△ABC的边AC在x轴上，AC中点O为坐标原点，已知C（2,0），动点D从A出发沿线段AB向终点B运动，速度为2个单位长度/秒，运动时间为t，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

（1）当OD⊥AB时，求E点坐标.

（2）过E做EF⊥BC，垂足为F，过F作FG⊥AB，垂足为G，请用含t的式子表示线段DG的长度.

（3）在（2）的条件下，作点C关于EF的对称点H，连接HG并延长交直线DE于点Q，当t为何值时，HQ=EQ，并求出此时DG的长度.

Answer 1

【答案】（1）E点坐标为（，0）；

（2）DG的长度为或

（3）当t为时，HQ=EQ，并求出此时DG的长度是2.

【解析】试题分析：

（1）OD⊥AB时，∠A=60°,OA=2，∴OD=OAsin60°=,

在Rt△ODE中，∠DOE=30°，∴OE= ODcos30°=,

∴E()

（2）

如图：

AD=2t,则AE=t,EC=4-t,CF=2- ,BF=2+ ,BG=1+ ,

当D、 G重合时，

AD+BG=4，即2t+1+ =4，t=；，

①当时，

DG= AD+BG-4=2t+1+ -4=；

②当时，

DG=4- (AD+BG)=4-(2t+1+ )=；

（3）

∵△ECH是等边三角形，∠HEC=60°,

∴∠QEH=30°,

∵QE=QH,

∴∠QHE=30°,

∴∠QHF=90°,

∴∠QHB=90°,

∵∠GBH=60°,

∴∠BGH=30°,

由对称可知BH=t,

在Rt△GBH中，BG=1+ ,∠BGH=30°,

∴BG=2BH,即2t=1+ ,

∴t=,DG==