Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，△AOB的面积是3．
（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（2）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； 
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，在抛物线上是否存在点P使得以A，B，D，P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B与O的关系，根据两点之间线段最短，可得AB与对称轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（3）分类讨论：①当AD∥BP时，②当AD∥BP时，③当AB∥DP时，根据联立直线与抛物线，可得方程组，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）如图1，
由△AOB的面积是3，得
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OB|y_A=3，
即$\frac{1}{2}$|OB|×3=3，
解得OB|=2，
B（-2，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、O的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{c=0}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²+2x；
（2）如图2，抛物线的解析式为y=x²+2x的对称轴是x=-1，
由两点之间线段最短，得AC+CO=AB，
直线AB与对称轴的交点，即为C点，
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=x+2．
当x=-1时，y=-1+2=1，
即C（-1，1）；
（3）①当AD∥BP时，P点与A点关于x=-1对称，
P点的横坐标为-1-[1-（-1）]=-3，P点的纵坐标与A点的纵坐标相等，
P₁（-3，3）；
②当AD∥BP时，AD的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
设BP的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+b，将B（-2，0）代入函数解析式，解得b=3，
BP的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3，
联立BP与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=\frac{3}{2}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（不符合题意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
即P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$）；
③如图3，
当AB∥DP时，AB的解析式为y=x+2，设DP的解析式为y=x+b，将D（-1，0）代入，得
b=1，即DP的解析式为y=x+1．
联立DP与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
即P₃（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₄（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
综上所述：P₁（-3，3）；P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$）；P₃（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₄（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用两点之间线段最短得出AB与对称轴的交点是解题关键；利用了梯形的定义，解方程组是求P点的关键，要分类讨论，以防遗漏．