Question

【题目】在中，，点与点在同侧，，且，过点作交于点为的中点，连接.

（1）如图1，当时，线段与的数量关系是 ；

（2）如图2，当时，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当时，求的值.

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析：（3）.

【解析】

（1）首先延长交于，由BE∥DA，得出∠FAM=∠EBM，AM=BM，∠AMF=∠BME，得出△AMF≌△BME，进而得出AF=BE，MF=ME，又由DA=DC，∠ADC=90°，得出∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=45°，得出CE=BE=AF，DF=DE，得出DM⊥EF，DM平分∠ADC，∠MDE=45°，即可得出MD=ME.

（2）首先延长交于，由BE∥DA，得出∠FAM=∠EBM，AM=BM，∠AMF=∠BME，得出△AMF≌△BME，进而得出AF=BE，MF=ME，又由DA=DC，∠ADC=60°，得出∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=30°，得出CE=BE=AF，DF=DE，得出DM⊥EF，DM平分∠ADC，∠MDE=30°，在Rt△MDE中，即可得出

（3）首先延长交于，由BE∥DA，得出∠FAM=∠EBM，AM=BM，∠AMF=∠BME，得出△AMF≌△BME，进而得出AF=BE，MF=ME，再延长交于点N，得出∠BNC=∠DAC，又由DA=DC，得出∠DCA=∠DAC=∠BNC，∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC，CE=BE=AF，DF=DE，从而得出DM⊥EF，DM平分∠ADC，在Rt△MDE中，即可得出的值.

（1）．如图，延长交于，

，

，

，

，

，

，

，

，

平分，

，

故答案为：；

（2），理由：

如图，延长交于，

，

，

，

，

，

，

，

，

平分，

，

在中，，

．

（3）如图，延长交于，

，

，

，

，

延长交于点，

，

，

，

，

平分，

，

在中， ．