Question

如图△ABC中，BA⊥AC，CF⊥FB，D是BC的中点，DE⊥AF，∠CBF=30°．
（1）求证：AD=CF；          
（2）求证：E是AF的中点．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=

1

2

BC，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=

1

2

BC，等量代换即可得证；
（2）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=

1

2

BC，然后求出AD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．

解答：（1）证明：∵BA⊥AC，D是BC的中点，
∴AD=

1

2

BC，
∵CF⊥FB，∠CBF=30°，
∴CF=

1

2

BC，
∴AD=CF；

（2）证明：如图，连接DF，
∵CF⊥FB，D是BC的中点，
∴DF=

1

2

BC，
∴AD=DF，
∵DE⊥AF，
∴E是AF的中点．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．