Question

12．如图，直线l：y=-2x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点，向右平移直线l交第一象限内双曲线y=$\frac{k}{x}$于D、E，交x轴正半轴于C，CD交y轴于F点，若CD=AB，S_△EOC=12，则k的值为6．

Answer 1

分析 先由y=-2x-2中，求出A（-1，0），B（0，-2），则OA=1，OB=2．根据直线平移的规律可设直线CD的解析式为y=-2x+m，则C（$\frac{1}{2}$m，0）．作DM⊥x轴于点M，利用AAS证明△CMD≌△AOB，得出CM=AO=1，MD=OB=2，则D点纵坐标为2，再求出D（$\frac{m-2}{2}$，2），那么k=$\frac{m-2}{2}$×2=m-2．将y=-2x+m代入y=$\frac{m-2}{x}$，求出x的值，得到E（1，m-2）．然后根据S_△EOC=12，列出方程$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$m×（m-2）=12，解方程求出m的值即可．

解答 解：在y=-2x-2中，
∵当x=0，y=-2，当y=0，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2．
设直线CD的解析式为y=-2x+m，则C（$\frac{1}{2}$m，0）．
作DM⊥x轴于点M，
在△CMD与△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠BAO}\\{∠CMD=∠AOB}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△AOB（AAS），
∴CM=AO=1，MD=OB=2，
∴D点纵坐标为2，
将y=2代入y=-2x+m，解得x=$\frac{m-2}{2}$，
∴D（$\frac{m-2}{2}$，2），
∴k=$\frac{m-2}{2}$×2=m-2．
将y=-2x+m代入y=$\frac{m-2}{x}$，得-2x+m=$\frac{m-2}{x}$，
整理得，2x²-mx+m-2=0，
解得x₁=1，x₂=$\frac{m-2}{2}$，
∵D（$\frac{m-2}{2}$，2），
∴E（1，m-2）．
∵S_△EOC=12，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$m×（m-2）=12，
解得m₁=8，m₂=-6（不合题意舍去），
∴k=m-2=8-2=6．
故答案为6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，方程组的解即为交点坐标．也考查了全等三角形的判定与性质，函数图象上点的坐标特征，直线平移的规律，三角形的面积．