Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．

（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；

（2）若m＝n， BD＝3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）;（2）9．

【解析】

（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC=2，BE=3，CE=2，可以得到BF=2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解；

（2）m=n，即AD=DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．

（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，

∴DE＝4，

在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，

设BF＝x，则FC＝x，∵BF2+FC2＝BC2，

∴x2+（x）2＝（3+2）2，

解得：x＝，即：BF＝，

答：点B到CD的距离是；

（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，

∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠C+∠BAD＝180°，

又∵∠BAD+∠GAD＝180°，

∴∠C＝∠GAD，

∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD

∴△DEC≌△DGA，（AAS）

∴DE＝DG，

∴四边形BEDG是正方形，

∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG＝BD2＝9．

答：四边形ABCD的面积是9．