Question

【题目】尺规作图

任务一：下面是小希设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．

作法：如图

①在直线l上取一点O，连接OP，以点O为圆心，OP为半径画圆，交直线l与点A和点B；②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径在直线l上方画弧交⊙O于点Q；

③作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小希设计的尺规作图步骤完成下列问题：

（1）在图1中使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）证明：PQ∥l

任务二：已知：直线l及直线l外一点M．

请根据下列提供的数学原理，选择其一，在图2中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN∥l．（保留作图痕迹，不写作法）

Answer 1

【答案】任务一：（1）画图见解析；（2）证明见解析；任务二：画图见解析

【解析】

(1)按照题目所给出的作法，用尺规作出图形即可；(2)根所作图1，先利用圆心角、弧、弦之间的关系推出∠AOP＝∠BOQ，再证明∠AOP＝∠OPQ，由内错角相等即可证明； (3)原理一通过用尺规作出同位角构造平行线，原理二通过作三角形的中位线构造平行线，原理三通过作平行四边形构造平行线.

（1）如图，

（2）证明：如图1，连接OQ，BQ，

在⊙O中，由作图知AP＝BQ，∴∠AOP＝∠BOQ

∴，

又∵OP＝OQ，∴∠OPQ＝∠OQP，

∴，

∴∠AOP＝∠OPQ，∴PQ∥l；

（3）如图所示：