【题目】如图,已知OM⊥ON,垂足为O,点A、B分别是射线OM、ON上的一点(O点除外).
(1)如图①,射线AC平分∠OAB,若BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α(0°<α<180°),则∠ACB= ;
(2)如图②,P为平面上一点(O点除外),∠APB=90°,且OA≠AP,分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE,交BP、OA于点D、E,试判断AD与BE的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,随着P点在平面内运动,AD、BE的位置关系是否发生变化?请利用图③画图探究.如果不变,直接回答;如果变化,画出图形,写出AD、BE位置关系并说明理由.
【答案】(1)45°或135°;(2)AD∥BE,理由见解析;(3)变化;当P在AB的上方时,如图②见解析,有AD∥BE; 当P在AB的下方时,如图③见解析,有AD⊥BE.理由见解析.
【解析】
(1)分两种情况讨论:若BC平分∠ABO,由三角形内角和定理可得结论,若BC平分∠ABO的外角,根据三角形外角的性质和角平分线的定义,可得结论;
(2)证明∠OAD=∠OEB,可得:AD∥BE;
(3)先根据∠AOB=∠APB=90°,分点P在AB的上方和P在AB的下方分类,依据角平分线的定义及特殊构图“8”字形对顶三角形有关角的关系的运用,即可得到结论.
(1)若BC平分∠ABO,如图①a,
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵AC,BC分别平分∠OAB,∠ABO,
∴∠BAC=∠OAB,∠ABC=
∠ABO,
∴∠BAC+∠ABC=(∠OAB+∠ABO)=45°
∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)= 180°-45°=135°
若BC平分∠ABO的外角,如图①b,
同上易知,∠1=∠2,∠3=∠4
∵∠1+∠2=∠3+∠4+∠AOB=∠3+∠4+90°,
∴2∠2=2∠4+90°,
∴∠2=∠4+45°,
∴∠2-∠4=45°,
∴∠ACB=45°,
综上,∠ACB=45°或135°.
故答案为:45°或135°.
(2)AD∥BE
∵∠AOB=∠P=90°
∴∠OAP+∠OBP=180°
∴∠OAP+
∠OBP=90°
∵AD平分∠OAP,BE平分∠OBP
∴∠OAD=∠OAP,∠OBE=
∠OBP
∴∠OAD+∠OBE=∠OAP+
∠OBP=90°
∵∠AOB=90°
∴∠OEB+∠OBE=90°
∴∠OAD=∠OEB
∴AD∥BE
(3)变化
当P在AB的上方时,如图②,有AD∥BE;
当P在AB的下方时,如图③,有AD⊥BE
理由是:
延长AD与BE交于点G,设OA与PB交于H,
∵∠APB=∠AOB=90°,∠AHP=∠BHO
∴∠OAP=∠OBP
∵AD平分∠OAP,BE平分∠OBP
∴∠PAD=∠OAP,∠DBE=
∠OBP
∴∠PAD=∠DBE,
又∵∠ADP=∠BDG,
∴∠AGB=∠P=90°,
∴AD⊥BE.
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【题目】推理填空.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD,理由如下:
解:因为∠1=∠2(已知),且∠1=∠4( )
所以∠2=∠4(等量代换)
所以CE∥BF( )
所以∠ =∠3( )
又因为∠B=∠C(已知),所以∠3=∠B( )
所以AB∥CD ( )
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【题目】四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
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【题目】如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架,侧面示意图如图2所示,其支架AB,CD,EF,GH,BE,DG,FK的长度都为40cm(支架的宽度忽略不计),四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形,当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时,∠B=∠D=∠F=80°,这时A端到墙壁的距离约为cm.
(sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,tan40°≈0.839)
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【题目】“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品.购进甲种礼品共花费1500元,购进乙种礼品共花费1050元,购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍,且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元.
⑴求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元;
⑵元旦前夕,礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个.恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整,一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%,一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元.如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元,那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品?
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【题目】如图,平行四边形中,对角线
、
相交于
,
,
、
、
分别是
、
、
的中点,下列结论:①
;②
;③
;④
平分
;⑤四边形
是菱形,其中正确的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
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【题目】如图,已知直线,
被直线
所截,
,
是平面内任意一点(点
不在直线
,
,
上),设
,
.下列各式:①
,②
,③
,④
,
的度数可能是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
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