【题目】如图,二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点.点在函数图象上,轴,且,直线是抛物线的对称轴,是抛物线的顶点.
(1)求的值;
(2)如图①,连接, 线段上的点关于直线的对称点F'恰好在线段BE上,求点的坐标;
(3)如图②,动点在线段上,过点作轴的垂线分别与交于点,与抛物线交于点.试问:直线右侧的抛物线上是否存在点,使得与的面积相等,且线段的长度最小?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】
(1)由条件可求得抛物线对称轴,则可求得的值;由,可用表示出点坐标,代入抛物线解析式可求得的值;
(2)可设,则可表示出的坐标,由、的坐标可求得直线的解析式,把坐标代入直线解析式可得到关于t的方程,可求得点的坐标;
(3)设点坐标为,可表示出、、的长,作,垂足为,则可求得的长,用可表示出、、的坐标,在中,由勾股定理可得到关于的二次函数,利用二次函数的性质可知其取得最小值时的值,则可求得点的坐标,
解:(1)且轴,
抛物线的对称轴为直线
即,
,
,
代入:,
解得 (舍去),
.
(2)由(1)可知
则
由待定系数法可得直线BE的解析式为:
设由,点关于直线的对称点的坐标为
则有:
(3)存在点满足题意.
设点坐标为,则,,.
作,垂足为,
△,
,
.
点在直线的右侧时,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
在中, ,
时,取最小值1.此时点的坐标为.
综上可知存在满足题意的点,其坐标为.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°,延长EF交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△EGB.
(2)若AB=4,求CG的长.
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【题目】在阳光下,小东同学测得一根长为米的竹竿的影长为米.
同一时刻米的竹竿的影长为________米.
同一时刻小东在测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在操场的第一级台阶上,测得落在第一级台阶上的影子长为米,第一级台阶的高为米,落在地面上的影子长为米,则树的高度为________米.
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【题目】为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)成正比例,药物燃尽后,y与x成反比例(如图所示).已知药物点燃后4分钟燃尽,此时室内每立方米空气中含药量为8毫克.
(1)求药物燃烧时,y与x之间函数的表达式;
(2)求药物燃尽后,y与x之间函数的表达式;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒有效时间有多长?
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【题目】如图,点O是等边三角形ABC内的一点,∠BOC=150°,将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC,连接OD,OA.
(1)求∠ODC的度数;
(2)若OB=2,OC=3,求AO的长.
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【题目】合肥某商场购进一批新型网红玩具.已知这种玩具进价为17元/件,且该玩具的月销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,下表是月销售量与销售单价的几组对应关系:
销售单价x/元 | 20 | 25 | 30 | 35 |
月销售量y/件 | 3300 | 2800 | 2300 | 1800 |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,D为y轴上一点,点D关于直线BC的对称点为D’
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在x轴上方,且△OBD的面积等于△OBC的面积时,求点D的坐标;
(3)当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时,求出点D的坐标;
(4)点P在抛物线上(不与点B、C重合),连接PD、PD′、DD,是否存在点P,使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】长沙市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行课程培训,教育局按定额购买了前往四地的车票,如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)若去A地的车票占全部车票的20%,求去C地的车票数,并补全条形统计图(图1);
(2)请从小到大写出这四类车票数的数字,并直接写出这四个数据的平均数和中位数;
(3)如图2,甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4,乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9,具体规定是:同时转动两个转盘,当指针指向的两个数字之和是偶数时,李老师出去培训,否则张老师出去培训(指针指在线上重转),试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平.
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【题目】为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行了改造,现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长1200米,改造总费用不超过145万元,至少安排甲队工作多少天?
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