Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的点，过点E作DE的垂直线交对角线BD于点O，交边BC于点F．
（1）△ADE与△BEF相似吗？说明理由；
（2）过点O作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N，连接NB、NE，若NB=NE，证明：线段BO是△BEF的EF边上的中线；
（3）在（2）的条件下，若点E是AB的中点，且AB=4，求线段DO的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，可得∠A=∠ABC=90°，根据同角的余角相等，可得∠ADE=∠BEF，根据两个角相等的三角形相似，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得BM与EM的关系，根据三角形中位线的性质，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得BO与OD的关系，根据三角形中位线的性质，可得EG与AD的关系，BG与BD的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得BF与EG的关系，根据相似三角形的性质，可得

AD

BE

=

AE

BF

，根据比例的性质，可得AD的长，根据勾股定理，可得BD的长，根据按比例分配，可得答案．

解答：解：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：
∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵NB=NE，NM⊥BE，
∴BM=EM，MN∥BC，
∴MO是△EBF的中位线，
∴OE=OF，
∴BO是△BEF的边EF上的中线．
（3）∵AB=4，E为AB的中点，
∴BE=

1

2

AB=2，BM=

1

2

BE=1．
∴CN=BM=1，DN=3．
∵BM∥DN，
∴△OBM∽△ODN，
∴

BO

DO

=

BM

DN

=

1

3

．
过E作EG⊥AB交BD于G，
∵E为AB中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴G为BD中点，
∴BG=

1

2

BD，EG=

1

2

AD，
∴BO=GO，
又∵OE=OF，
∴四边形EGFB是平行四边形．
∴BF=EG=

1

2

AD．
∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

，
∴AD•BF=AE•BE，即

1

2

AD²=2×2
AD=2

2

，
BD=

AD2+AB2

=

8+16

=2

6

∴OD=

3

4

BD=

3 6

2

．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了相似三角形的判定；等腰三角形的性质，三角形的中位线；相似三角形的性质三角形的中位线，勾股定理，综合性较强．