Question

阅读下列材料：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（仿照以上材料，写出解答过程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

 

 （填上结果即可）
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

 

 （填上结果即可）

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）根据题目信息列出算式，然后提取

1

3

，进行计算即可得解；
（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的

1

3

，然后列出算式进行计算即可；
（3）利用（2）的规律类比得出答案即可．

解答：解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（n+1）（n+2）（n+3）．

点评：此题考查数字的规律性变化，利用类比的思想由特殊到一般，找出规律，解决问题．