Question

11．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM²+DN²=MN²=1
∴DM²+$\frac{1}{4}$DM²=1，
解得DM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②DM与BE是对应边时，DM=$\frac{1}{2}$DN，
∴DM²+DN²=MN²=1，
即DM²+4DM²=1，
解得DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴DM为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选C．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．