Question

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，

点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P在AB上方而C在AB下方时（如图1），判断PO与BC的位置关系，并证明你的判断；

（2）当P、C都在AB上方时（如图2），过C点作CD⊥直线AP于D，且PC=2PD，证明：CD是⊙O的切线．

            

                              图1                   图2

Answer 1

解：（1）结论PO∥BC成立，理由为.

           由折叠可知：△APO≌△CPO，

           ∴∠APO=∠CPO，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO.

又∠A与∠PCB都是所对的圆周角，

∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，   ∴PO∥BC；

（2）在Rt△PCD中，，

因为△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上，所以为等边三角形，,DC经过半径OC的外端C，所以DC为圆O的切线.

(或者（1）结论PO∥BC成立，理由为.

           由折叠可知：△APO≌△CPO，

           ∴∠APO=∠CPO，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO.

又∠A与∠PCB都是所对的圆周角，

∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，   ∴PO∥BC；

（2）在Rt△PCD中，，∴∠DCP=30°, ∠DPC=60°.

又∠APO=∠CPO，且∠APO＋∠CPO＋∠DPC=180°，

∴∠APO=∠CPO=60°.

又OA=OP=OC，∴△OAP和△OCP均为等边三角形.

∴∠OCP=60°.又∠DCP=30°，

∴∠OCD=90°，即OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切线．）