Question

16．如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）联接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），将A、B、O的坐标代入，利用待定系数法可确定a、b、c的值，继而可得抛物线解析式；
（2）根据四边形AODE是平行四边形，可判断出AO是平行四边形的一边，从而可得DE∥AO，DE=AO，先确定点D的横坐标，再由点D在抛物线上可得点D的坐标；
（3）先求出OB、OF、OC的长度，然后分两种情况讨论：①当△POC∽△FOB时，②当△POC∽△BOF时，由相似三角形的对应边成比例得出OP的值，继而可得点P坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
故抛物线函数解析式为：y=x²+2x；

（2）∵AO为平行四边形的一边，
∴DE∥AO，DE=AO，
∵A（-2，0），
∴DE=AO=2，
∵四边形AODE是平行四边形，
若D在对称轴x=-1的左侧，D点横坐标为：-1-2=-3，带入抛物线解析式得y=3，
若D在对称轴x=-1的右侧，D点横坐标为：-1+2=1，带入抛物线解析式得y=3，
综上可得，D的坐标为（-3，3）或（1，3）；

（3）在y轴上存在点P，使得△POC与△BOF相似，理由如下：
由y=x²+2x，顶点C的坐标为（-1，1），
∵tan∠BOF=$\frac{3}{3}$=1，
∴∠BOF=45°，
当点P在y轴的负半轴时，tan∠COP=$\frac{1}{1}$=1，
∴∠COP=45°，
∴∠BOF=∠COP，
设BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵图象经过B（-3，3），C（-1，-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-3；
令y=0，则x=-1.5．
∴F（-1.5，0），
∴OB=3$\sqrt{2}$，OF=1.5，OC=$\sqrt{2}$，
①当△POC∽△FOB时，
则$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OP}$，
即$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{OP}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$，
∴P（0，-$\frac{1}{2}$）；
②当△POC∽△BOF时，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{OP}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}}$，
∴OP=4，
∴P（0，-4），
∴当△POC与△BOF相似时，点P的坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）或（0，-4）．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的性质，解答本题关键是分类讨论思想的运用，难度较大．