Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN，EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为$\frac{86}{3}$cm²．

Answer 1

分析 连接MN，过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形的性质求出BG的长，根据勾股定理求出AG的长，再根据三角形中位线定理得出MN的长，由相似三角形的性质求出△AMN的面积，再由相似三角形的性质求出HF及GF的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：连接MN，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=AC，AB=13cm，BC=10cm，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=5cm，
∴AG=$\sqrt{{AB}^{2}-{BG}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}$=12cm．
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=5cm，AH=HG=$\frac{1}{2}$AG=6cm，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$×5×6=15cm²．
设GF=x，则HF=6-x，
∵MN∥BC，
∴∠NMF=∠DEF，∠MNF=∠EDF，
∴△MNF∽△EDF，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{GF}{HF}$=$\frac{4}{5}$=$\frac{x}{6-x}$，解得x=$\frac{8}{3}$，即GF=$\frac{8}{3}$，HF=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MN•HF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{10}{3}$=$\frac{25}{3}$cm²，S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE•GF=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$cm²，
∴S_阴影=S_△AMN+S_△MNF+S_△DEF=15+$\frac{25}{3}$+$\frac{16}{3}$=$\frac{86}{3}$cm²．
故答案为：$\frac{86}{3}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．