Question

6．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（3，4），直线CD分别交OB、AB于点D、E，若BD=BE，则点D的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（3，4），求得BC=OA=3，OC=AB=4，根据等腰三角形的等边对等角，等角对等边，求得点E的坐标，用待定系数法求出直线CD和直线OB 的解析式，联立方程组解出D点的坐标．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（3，4），
∴BC=OA=3，OC=AB=4，
∴C（0，4），
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
∵∠OCE=∠BED，∠CDO=∠BDE，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC=4，
∵OB=$\sqrt{{OA}^{2}{+AB}^{2}}$=5，
∴BD=BE=1，
∴E（3，3），
∴直线CE的解析式：y=-$\frac{1}{3}x+4$，
直线OB的解析式：y=$\frac{4}{3}$x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+4}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$），
故答案为：（$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理得应用，待定系数法求函数的解析式，解方程组求直线的交点坐标等知识点．