Question

8．计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$．

Answer 1

分析 先把每一个式子进行分母有理化，分母都为1，再进行加减法计算，根据规律即可解答．

解答 解：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
=$\frac{\sqrt{2}-1}{（1+\sqrt{2}）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{3}+\sqrt{4}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{（\sqrt{99}+\sqrt{100}）（\sqrt{100}-\sqrt{99}）}$
=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
=$-1+\sqrt{100}$
=$\sqrt{100}$-1．

点评 本题考查了分母有理化，解决本题的关键是利用平方差公式进行分母有理化．