Question

1．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，交AC于点F，∠ACB=45°，连接BF，∠FBC=∠EDC．
（1）求证：BF=CD；
（2）若AB=5，BC=7，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A作AG⊥BC于G，由∠ACB=45°，DE⊥BC，得到等腰直角三角形，得到边相等，证得全等三角形，得到对应边相等；
（2）根据梯形的底平行，DE⊥BC，得到等腰直角三角形，证得矩形，得到对边相等，由等腰直角三角形的直角边相等，通过等量代换，得到线段相等，由勾股定理列方程求所需线段的才长度，根据梯形的面积公式求得结果．

解答 解：（1）过点A作AG⊥BC于G，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°
∵∠ACB=45°
∴EF=EC，
∵∠FBC=∠EDC，
在△BEF与△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠BEF}\\{∠EDC=∠BFE}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BEF（AAS）
∴BF=CD；

（2）∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=90°，∠DAC=∠ACB=45°，
∴AD=DF，
∵AG⊥BC
∴四边形ADEG是矩形，
∴EG=AD，AG=DE，
∴EG=DF，AG=BE，
∵AG⊥BC，∠ACB=45°，
∴AG=CG，
∴BE=CG，
∵BE=BG+EG，CG=CE+EG，
∴BG=CE，
设CE=x，则BG=x，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=7-x，
∴AG=BE=7-x，
∵AB²=AG²+BG²，AB=5，∴5²=x²+（7-x）²，
解得x=3和x=4（因2x=8＞7故舍去x=4）
∴AG=7-x=4，EG=7-2x=1，
∴AD=1，
∴S梯形=（AD+BC）×AG/2=（1+7）×4/2=16．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理得应用，梯形的面积公式等知识点．