Question

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，Rt△DEF中，∠DFE=90°，D、E两点分别在AC、BC上，且DE=BC．若∠CFB=135°，CF=1，EF=3，则AB=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作BG⊥CF于点G，则∠G=∠DFE=90°，取DE的中点M，连结MF、MC，则可得MD=ME=MC=MF，所以点E、F、C、D四个点在同一个圆上根据圆周角定理得到∠GCE=∠FDE，得到全等三角形，根据∠CFB=135°，得到∠GFB=45°，得到等腰直角三角形，由勾股定理求解．

解答 解：作BG⊥CF于点G，则∠G=∠DFE=90°取DE的中点M，连结MF、MC，则可得MD=ME=MC=MF，
∴点E、F、C、D四个点在同一个圆上
∴∠GCE=∠FDE，
∵DE=BC，
在△DEF与△CGB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠BGC}\\{∠FDE=∠BCG}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CGB，
∴BG=EF=3，
∵∠CFB=135°，
∴∠GFB=45°，
∴FG=BG=3，
∴CG=CF+FG=1+3=4，
∴CB=5，
∴AB=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点．