Question

【题目】如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AFBD是矩形．

【解析】

试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

试题解析：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，∴AF=CD，∵AF=BD，∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．