Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG，

（1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数；

（2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由；

（3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不会变化； (3) 四边形AGFM是正方形

【解析】

（1）根据对称性及正方形性质可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度数；

（2）由(1)知△DFC为等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45；

（3）证明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90，即可得出结论.

(1)△FDE与ADE关于DE对称

∴△FDE≌△ADE

∴∠FDE＝∠ADE＝15，AD=FD

∴∠ADF=2∠FDE=30

∵ABCD为正方形

∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90

∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60

∴△DFC为等边三角形

∴∠DFC=60

∵∠DFC为△DGF外角

∴∠DFC=∠FDE+∠DGC

∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15=45

(2)不变.

证明: 由(1)知△DFC为等腰三角形，DF=DC

∴∠DFC=∠DCF= (180-∠CDF) =90-∠CDF①

∵∠CDF=90-∠ADF=90-2∠EDF②

将②代入①得∠DFC=45+∠EDF

∵∠DFC=∠DGC+∠EDF

∴∠DGC=45

(3)四边形AMFG为正方形.

证明: ∵M为Rt△ADE中斜边DE的中点

∴AM＝DE

∵M为Rt△FED中斜边DE的中点

∴FM=DE=AM=MD

由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG

△ADG与△FDG中，

AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG

∴△ADG≌△FDG，

由(2)知∠DGC=45

∴∠DGA=∠DGF=45，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90

∵DB为正方形对角线，

∴∠ADB=∠45，

∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5

∵DM＝FM

∴∠GDF=∠MFD=22.5

∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45

∴∠GMF=∠DGF＝45

∴MF=FG

∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90

∴四边形AMFG为正方形。