Question

【题目】已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，且∠ADB＝2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F．

（1）求证：CD＝BD；

（2）写出线段AB，PF和PE之间数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PE+PF＝AB．证明见解析．

【解析】

（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后由∠ADB＝2∠C得出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得CD=BD；
（2）连接PD，利用△BCD面积的两种不同求法列出等式，即可得出结果．

（1）证明：在△BCD中，∠ADB＝∠C+∠DBC，

∵∠ADB＝2∠C，

∴∠C＝∠DBC，

∴CD＝BD；

（2）解：PE+PF＝AB．证明如下：

连接PD，

则S△BCD＝S△BDP+S△CDP＝BDPE+CDPF＝CDAB，

∵CD＝BD，

∴PE+PF＝AB．