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【题目】如图,ADBCDBEACFBEADFBFAC

1)求证:FDCD

2)连DE,求证:ED平分∠BEC

3)在(2)条件下,点PAC上,连BPDPBPADQ BP平分∠EBC,∠BPDBFDAPQ的面积为4,求线段PD的长.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)先证明BFDACD,即可得出FDCD

2)过DDGBEGDHACH,由“AAS”可证BDGADH,可得DG=DH,由角平分线的性质可得ED平分∠BEC

3)如图,过点PPHCDHPNADN,延长PNBE于点G,由角平分线的性质可证PH=PN=PE,通过全等三角形的性质可证AE=PE=PH,由面积公式可得PH=2,由直角三角形的性质可求解;

1)证明:∵ADBCDBEACF

∴∠BDA=CDA=90°,∠FEA=90°

∵∠BFD=AFE,∠BFD+FBD=90°,∠AFE+FAE=90°

∴∠FBD=FAE=CAD

∵∠DAC+ACD=90°,∠BFD=AFE,∠AFE+FAE=90°

∴∠BFD=ACD

BFDACD中,

BFDACD

FDCD

(2)证明:如图1,过DDGBEGDHACH

BFDACD

∴∠B=ABD=AD

BDGADH

DG=DH,且DGBEDHAC

ED平分∠BEC

(3)如图,过点PPHCDHPNADN,延长PNBE于点G

BP平分∠EBCPHBC,∠PEB=90°,PE=PH

∴∠EBP=PBD

∵∠PDC=PBD+BPD=

∴∠PDC==45°,且∠ADC=90°,

∴∠ADP=PDC=45°,且PHDCPNAD

PH=PN

PH=PN=PE,且∠APN=GPE,∠ANP=GEP=90°,

APNGPE

AP=GP

AE=GQ

PHCDPNADADCB

∴四边形DHPN是矩形,且PH=PN

∴四边形DHPN是正方形,

PH=QD=DH=NP,且FD=CD

FN=CH

∵∠A+C=90°,∠A+AFE=90°

∴∠C=AFE=GFN,且FN=CH,∠PHC=GNF

GNFPHC

PH=GN

PH=AE=PE

∵∠APB=PBC+C,∠AQP=GFN+EBP

∴∠APB=AQP

AP=AQ=2PH

APQ的面积为4

PH=2

PH=DH=2,且PHCD

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