Question

【题目】如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）求证：△CDE是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；

（2）如图2，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 存在，当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCA=∠ECB，由等边三角形的判定可得结论；

（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．

（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）解：存在，

①当0≤t＜6s时，由旋转可知，，，

若，由(1)可知，△CDE是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2s；

②当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，

∴此时不存在；

③ t = 10s时，点D与点B重合，

∴此时不存在；

④ 当t＞10s时，由旋转的性质可知， ∠CBE=60°

又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

从而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4cm，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14s；

综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．