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【题目】如图1,点E为正方形ABCD的边AB上一点,EFEC,且EF=EC,连接AF.过点FFN垂直于BA的延长线于点N

1)求∠EAF的度数;

2)如图2,连接FCBDM,交ADN.猜想BDAFDM三条线段的等量关系,并证明.

【答案】1EAF=135°;(2BD= AF+2DM,证明见解析

【解析】

1)证明△EBC≌△FNE,根据全等三角形的对应边相等和正方形的临边相等可证明NA=NF,由此可证△NAF为等腰直角三角形,可求得∠EAF

2)过点FFGABBD于点G证明四边形ABGF为平行四边形和△FGM≌△CDM,即可证得结论.

1)解:∵四边形ABCD是正方形,FN垂直于BA的延长线于点N

∴∠B=N=CEF=90°BC=AB=CD

∴∠NEF+CEB=90°,∠CEB+BCE=90°

∴∠NEF=ECB

EC=EF

∴△EBC≌△FNE

FN=BE, EN=BC ,

EN=AB

ENAE=ABAE

AN=BE

FN=AN

FNAB

∴∠NAF=45°

∴∠EAF=135°

2)三条线段的等量关系是BD=AF+2DM

证明:过点FFGABBD于点G

由(1)可知∠EAF=135°

∵∠ABD=45°

∴∠EAF=135°+ABD=180°

AFBG

FGAB

∴四边形ABGF为平行四边形,

AF=BGFG=AB

AB=CD

FG=CD

ABCD

FGCD

∴∠FGM=CDM

∵∠FMG=CMD

∴△FGM≌△CDM

GM=DM

DG=2DM

BD=BG+DG=AF+2DM

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