Question

【题目】如图，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE的延长线与BD交于点A．

（1）求证：BF＝AC；

（2）求证：BE是AC的中垂线；

（3）若BD＝2，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DF＝﹣2+2．

【解析】

（1）欲证明BF＝AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；

（2）根据角平分线以及垂直的定义可以先证明△ABE≌△CBE，进而可得出结论；

（3）连接AF，只要证明DF＝AD，AF＝CF，设DF＝AD＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDF＝∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，

∴∠DBF＝∠DCA，

∵BD＝CD，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF＝AC；

（2）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵CE⊥BE，∴∠BEA＝∠BEC＝90°，

又BE=BE，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE，

∴BE是AC的中垂线；

（3）解：连接AF．

∵△BDF≌△CDA，

∴AD＝DF，设DF＝AD＝x，

∵BE垂直平分AC，BD＝CD＝2，

∴CF＝AF＝2﹣x，

在Rt△ADF中，∵AF2＝DF2+AD2，

∴（2﹣x）2＝x2+x2，

解得x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍弃），

∴DF＝﹣2+2．