Question

【题目】如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于，连接，过作于，下列有四个结论：①，②，③，④的周长为定值，其中正确的结论有（ ）．

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；④作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE＝IM，故△CEH的周长为边AM的长，为定值．

①连接FC，延长HF交AD于点L，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠CDF＝45°．

∵AD＝CD，DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．

∵∠ALH＋∠LAF＝90°，

∴∠LHC＋∠DAF＝90°．

∵∠ECF＝∠DAF，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC．

∴FH＝AF．

②∵FH⊥AE，FH＝AF，

∴∠HAE＝45°．

③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，

∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，

∴∠AFO＝∠GHF．

∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA＝GF．

∵BD＝2OA，

∴BD＝2FG．

④连接EM，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，

∵HL⊥AE，CI∥HL，

∴AE⊥CI，

∴∠DIC＋∠EAD＝90°，∵∠EAD＋∠AED＝90°，

∴∠DIC＝∠AED，

∵ED⊥AM，AD＝DM，

∴EA＝EM，

∴∠AED＝∠MED，

∴∠DIC＝∠DEM，

∴∠CIM＝∠CEM，

∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，

∴△MEC≌△CIM，可得：CE＝IM，

同理，可得：AL＝HE，

∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．

∴△CEH的周长为8，为定值．

故①②③④结论都正确．

故选：D．