Question

以Rt△ABC的直角顶点C为圆心，作一圆切斜边AB于点T，过点A，B分别作⊙C的切线，E，D为切点．求证：
（1）BC+AE=AB；
（2）BD∥AE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线长定理由AE和AT为⊙O的切线得到AE=AT，由BD和BT为⊙O的切线得BD=BT，则AE+BD=AT+BT=AB；
（2）根据切线长定理得∠CAE=∠CAT，∠CBD=∠CBT，则∠CAB+∠CBA=90°，所以∠CAE+∠CAT+∠CBD+∠CBT=180°，即∠EAB+∠DBA=180°，于是可根据平行线的判定得到BD∥AE．

解答：证明：（1）∵AE和AT为⊙O的切线，
∴AE=AT，
∵BD和BT为⊙O的切线，
∴BD=BT，
∴AE+BD=AT+BT，
即BD+AE=AB；
（2）∵AE和AT为⊙O的切线，
∴∠CAE=∠CAT，
∵BD和BT为⊙O的切线，
∴∠CBD=∠CBT，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CAE+∠CAT+∠CBD+∠CBT=180°，
即∠EAB+∠DBA=180°，
∴BD∥AE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理和平行线的判定．