Question

【题目】这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒……按这个方法放满整个棋盘就行。”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了,结果国王输了．

（1）我们知道,国际象棋共有64个格子,则在第64格中应放多少米？（用幂表示）

（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少?（简要写出探究过程．）

（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?为解决这个问题,我们先来看下面的解题过程：

用分数表示无限循环小数：．

解：设①．等式两边同时乘以10,得②．

将②①得：,则，∴．

请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）8；（3）

【解析】

试题分析：本题属于信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．

（1）观察发现，第n个格子里的米粒数是2为底数，n-1作为指数；

（2）通过计算可以看出，个位数是以4项为一组循环的，用63除以4，余数是几就与第几项的个位数相同； （3）利用信息，这列数都乘以2，再相减即可求出．

试题解析：

（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；

（2）∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32… ,

∵63÷4=15…3，

∴263的末位数字与23的末位数字相同，是8；

（3）设x=1+2+22+…+263①．

等式两边同时乘以2，得2x=2+22+23+…+264②

②-①，得x=264-1．

答：国王输给阿基米德的米粒数为264-1．