Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）

A.1 个
B.2个
C.3 个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合已知条件DE⊥AC可得OD⊥DE，则DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。