【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题: 如图1，在矩形
中，对角线
、
相交于点
，且
，点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接所
、
、
．
求证：
是等边三角形．
小明经探究发现，连接
、
(如图2)，从而可证
， 
，使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；
参考小明思考问题的方法或用其他的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，在四边形中， 
，
， 对角线、
相交于点，且
(
)，点、、分别是、、的中点，连接、、．
①否存在与相等的线段?若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．
②求
的度数．(用含
的式子表示)
【答案】（1）见解析；（2）①
，证明见解析；②
．
【解析】
（1）如图，连接
、
，由已知条件可证明
是等边三角形，进而证明
是直角三角形，根据
为AD的中点，证明
，再由三角形中位线定理，即可证明结论；
（2）①如图，，类比（1）即可证明结论；
②如图，
.根据①结论得到
，再得到
，进而证明
，
，最后求出
，问题得解．
（1）证明：如图，连接、，
∵四边形
为炬形，
∴
，
.
∵
，
∴是等边三角形.
∵点
是
的中点，
∴
.
∴是直角三角形.
∵是
的中点，
∴.
∵点、
分别是、
的中点，
∴
.
∴
，
∴
是等边三角形.
（2）①.
证明:如图，连接、，
∵
， 
，
∴是等腰三角形
∵点是的中点，
∴.
∴是直角三角形、
∵是的中点，
∴
.
同理可得
.
∴.
②解:∵，
，
∴
，
.
∵
，
∴同理可得
.
∴.
由①可知，
，
，
∴，
.
∴
.
.
∴
.
∴
.
53随堂测系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E． 
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象
分别与
轴交于
两点，正比例函数的图象
与交于点
（1）求
的值及的解析式；
（2）求
的值；
（3）一次函数
的图象为
且
不能围成三角形，直接写出
的值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 ． 
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平行四边形
中，
， 
，
，
， 垂足为
，在平行四边形的边上有一点
，且
.将平行四边形折叠，使点
与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点
、
．
（1）求
的长；
（2）请补全图形并求折痕
的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3 
时，求线段DH的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= 
AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A.1 个
B.2个
C.3 个
D.4个
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
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