Question

18．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE=CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 由已知条件和平行线的性质得出OE=OF，∠E=∠F，由ASA证明△BOE≌△DOF，得出对应边相等OB=OD，即可证出四边形ABCD是平行四边形．

解答 证明：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵DF∥BE，
∴∠E=∠F，
在△BOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE和△DOF（ASA），
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．