【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
(1)直接写出:b的值为 ;c的值为 ;点A的坐标为 ;
(2)点M是线段BC上的一动点,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.设点D的横坐标为m.
①如图1,过点D作DM⊥BC于点M,求线段DM关于m的函数关系式,并求线段DM的最大值;
②若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标 .
【答案】(1)﹣;﹣2;(﹣1,0);(2)①MD=(﹣m2+4m),DM最大值;②(,﹣)或(,﹣).
【解析】
(1)直线yx﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,则点B、C的坐标为:(4,0)、(0,﹣2),即可求解;
(2)①MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m),即可求解;②分∠CDM=90、∠MDC=90°、∠MCD=90°三种情况,分别求解即可.
(1)直线yx﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,
则点B、C的坐标为:(4,0)、(0,﹣2).
将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得:b,c=﹣2.
故抛物线的表达式为:…①,点A(﹣1,0).
故答案为:,﹣2,(﹣1,0);
(2)①如图1,过点D作y轴的平行线交BC于点H交x轴于点E.
设点D(m,m2m﹣2),点H(m,m﹣2).
∵∠MDH+∠MHD=90°,∠OBC+∠BHE=90°,∠MHD=∠EHB,
∴∠MDH=∠OBC=α.
∵OC=2,OB=4,
∴BC=,
∴cos∠OBC=,则cos;
MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m).
∵0,故DM有最大值;
②设点M、D的坐标分别为:(s,s﹣2),(m,n),nm2m﹣2;分三种情况讨论:
(Ⅰ)当∠CDM=90°时,如图2,
过点M作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点F,交y轴于点E.
易证△MEC≌△DFM,
∴ME=FD,MF=CE,
即s﹣2﹣2=m﹣s,ss﹣2﹣n,
解得:s,或s=8(舍去).
故点M(,);
(Ⅱ)当∠MDC=90°时,如图3,过D作直线DE⊥y轴于E,MF⊥DE于F.
同理可得:s,或s=0(舍去).
故点M(,);
(Ⅲ)当∠MCD=90°时,
则直线CD的表达式为:y=﹣2x﹣2…②,
解方程组:
得:(舍去)或,
故点D(﹣1,0),不在线段BC的下方,舍去.
综上所述:点M坐标为:(,)或(,).
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【题目】如图,射线交一圆于点,,射线交该圆于点,,且 .
(1)判断与的数量关系.(不必证明)
(2)利用尺规作图,分别作线段的垂直平分线与的平分线,两线交于点(保留作图痕迹,不写作法),求证:平分.
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【题目】综合与探究
如图,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,对称轴为直线,顶点为.
(1)求抛物线的解析式及点坐标;
(2)在直线上是否存在一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在轴上取一动点,,过点作轴的垂线,分别交抛物线,,于点,,.
①判断线段与的数量关系,并说明理由
②连接,,,当为何值时,四边形的面积最大?最大值为多少?
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【题目】如图,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.若AB=6,AD=8,则DG的长为_____.
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【题目】文化是一个国家、一个民族的灵魂,近年来,央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目.为了解学生对这些栏目的喜爱情况,某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查,被调查的学生必须从《经曲咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己最喜爱的一个栏目,也可以不选以上四类而写出一个自己最喜爱的其他文化栏目(这时记为E).根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了 名学生;
(2)最喜爱《朗读者》的学生有 名;
(3)扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ;
(4)选择“E”的学生中有2名女生,其余为男生,现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈,请直接写出:刚好选到一名男生和一名女生的概率为 .
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【题目】课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究,直角三角形纸板如图所示,分别为Rt△ABC和Rt△DEF,其中∠A=∠D=90°,AC=DE=2cm. 当边AC与DE重合,且边AB和DF在同一条直线上时:
(1)在下边的图形中,画出所有符合题意的图形;
(2)求BF的长.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次,其中抛掷出5点的次数最少,则第2001次一定抛掷出5点
B.抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的时间降雨
D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点E在边BC上,将△ABE沿AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点B′处.则线段BE的长为_____.
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【题目】如图,反比例函数的图象经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan∠AOB=.
(1)求k的值;
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数的图象恰好经过DC的中点E,求直线AE的函数表达式;
(3)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关系,写出你的结论并说明理由.
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