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【题目】在平面直角坐标系中,直线yx2x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数yx2+bx+c的图象经过BC两点,且与x轴的负半轴交于点A

1)直接写出:b的值为   c的值为   ;点A的坐标为   

2)点M是线段BC上的一动点,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.设点D的横坐标为m

如图1,过点DDMBC于点M,求线段DM关于m的函数关系式,并求线段DM的最大值;

若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标   

【答案】1)﹣;﹣2;(﹣10);(2MD(﹣m2+4m),DM最大值,﹣)或(,﹣).

【解析】

1)直线yx2x轴交于点B,与y轴交于点C,则点BC的坐标为:(40)(0,﹣2),即可求解;

2)①MD=DHcosMDH(m2m2m+2)(m2+4m),即可求解;②分∠CDM=90、∠MDC=90°、∠MCD=90°三种情况,分别求解即可.

1)直线yx2x轴交于点B,与y轴交于点C

则点BC的坐标为:(40)(0,﹣2)

将点BC的坐标代入抛物线表达式并解得:bc=2

故抛物线的表达式为:…①,点A(10)

故答案为:,﹣2(10)

2)①如图1,过点Dy轴的平行线交BC于点Hx轴于点E

设点D(mm2m2),点H(mm2)

∵∠MDH+MHD=90°,∠OBC+BHE=90°,∠MHD=EHB

∴∠MDH=OBC

OC=2OB=4

BC=

cosOBC=,则cos

MD=DHcosMDH(m2m2m+2)(m2+4m)

0,故DM有最大值

②设点MD的坐标分别为:(ss2)(mn)nm2m2;分三种情况讨论:

()当∠CDM=90°时,如图2

过点Mx轴的平行线交过点Dx轴的垂线于点F,交y轴于点E

易证△MEC≌△DFM

ME=FDMF=CE

s22=msss2n

解得:s,或s=8(舍去)

故点M()

()当∠MDC=90°时,如图3,过D作直线DEy轴于EMFDEF

同理可得:s,或s=0(舍去)

故点M()

()当∠MCD=90°时,

则直线CD的表达式为:y=2x2…②,

解方程组:

得:(舍去)

故点D(10),不在线段BC的下方,舍去.

综上所述:点M坐标为:()()

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